Atomska in jedrska fizika

Maturitetno gradivo — pregled formul in razlag

Kazalo vsebine

  1. Radioaktivno razpadanje
  2. Reakcije razpada (α, β⁻, β⁺, γ)
  3. Masni defekt in vezavna energija
  4. Dalton, izotopi in plinska enačba
  5. Kruksova in rentgenska cev
  6. Atomski spekter in Balmerjeva vrsta
  7. Rutherfordov model atoma
  8. Bohrov model atoma
  9. Naboji in lastnosti delcev
  10. Faradayev zakon (elektroliza)
  11. Stokesov zakon in Millikanov poskus
  12. Bohrova formula (energija fotona)
  13. Kristalna struktura in gostota
  14. Tabela ključnih konstant

1. Radioaktivno razpadanje

Radioaktivno razpadanje je spontan proces, pri katerem nestabilna jedra oddajajo delce ali sevanje in se pretvarjajo v stabilnejša jedra. Hitrost razpadanja je sorazmerna s trenutnim številom nerazpadlih jeder — zato je razpad eksponentno padajoč proces.

Diferencialna oblika:
dNdt = −λ · N

Rešitev te diferencialne enačbe daje eksponentni zakon:

Eksponentni zakon razpada:
N = N₀ · e−λt
Zapis s časom razpolovitve:
N = N₀ · 2 −t/t1/2
N₀ — začetna količina (število) delcev
N — trenutna količina delcev (ob času t)
λ — konstanta radioaktivnega razpada [s⁻¹]
t1/2 — čas razpolovitve: čas, v katerem se število nerazpadlih jeder zmanjša na polovico
Opomba: Zveza med λ in t1/2:   λ = ln 2t1/2 ≈ 0,693t1/2. Krivulja N(t) se asimptotično bliža ničli, a je nikoli ne doseže.

2. Reakcije razpada

Pri radioaktivnem razpadu se začetno jedro (»materinsko jedro«) pretvori v končno jedro (»hčerinsko jedro«) in ob tem odda delec oz. sevanje.

α razpad (alfa)

α (42He) :   AZX  →  A−4Z−2X'  +  42He

Jedro odda α-delec (jedro helija-4: 2 protona + 2 nevtrona). A se zmanjša za 4, Z za 2. α-delci imajo kratke dosege (nekaj cm v zraku, list papirja jih ustavi), a povzročajo močno ionizacijo.

β⁻ razpad (beta minus)

β⁻ (e⁻) :   AZX  →  AZ+1X'  +  e⁻  +  ν̄e

Nevtron v jedru se pretvori v proton (n⁰ → p⁺). Oddani delec je elektron, poleg njega pa tudi elektronski antinevtrino ν̄e. A ostane enako, Z se poveča za 1.

β⁺ razpad (beta plus)

β⁺ (e⁺) :   AZX  →  AZ−1X'  +  e⁺  +  νe

Proton v jedru se pretvori v nevtron (p⁺ → n⁰). Odda se pozitron in elektronski nevtrino νe. A ostane enako, Z se zmanjša za 1. Ob srečanju pozitron-elektron pride do anihilacije (nastaneta dva γ fotona).

γ sevanje (gama)

γ  →  visokoenergijsko elektromagnetno sevanje (foton)

Jedro preide iz vzbujenega v osnovno stanje in odda foton γ visoke energije. Ni spremembe v A ali Z. Gama sevanje ni vidna svetloba — gre za kratke valovne dolžine (nad rentgenskim). Ima velik doseg in visoko prodornost (več cm svinca).

3. Masni defekt in vezavna energija

Ko se protoni in nevtroni vežejo v jedro, je masa nastalega jedra manjša od vsote mas posameznih nukleonov. Razlika je masni defekt.

Masa posameznih nukleonov (seštevek):
m₁ = Z · mp + N · mn
Dejanska (izmerjena) masa jedra:
m₂ = mjedro(AX)   ← iz tabel ali atomska masa minus masa elektronov
Masni defekt:
Δm = m₁ − m₂   (vedno > 0)
Maturitetni trik: V tabelah so skoraj vedno atomske mase (z elektroni). Da se izogneš odštevanju elektronov, namesto mp uporabi maso atoma vodika mH:
Praktična formula (z atomskimi masami):
m₁ = Z · mH + N · mn
m₂ = matom(AX)   ← atomska masa iz tabele
Δm = m₁ − m₂
Z elektronov v mH se pokrajša z Z elektroni v matom!
Vezavna energija (Einsteinova zveza):
Wvez = Δm · c²
Vezavna energija na nukleon:
WvezA   — merilo stabilnosti jedra
mp = 1,673 · 10⁻²⁷ kg   mn = 1,675 · 10⁻²⁷ kg   1 Da = 1,661 · 10⁻²⁷ kg
Z — vrstno število   A — masno število   c = 3 · 10⁸ m/s
Pozor: Za m₂ nikoli ne uporabi približka m₂ ≈ A · 1 Da — to bi izničilo masni defekt! Jedra v okolici železa (Fe-56) imajo največjo Wvez/A in so najstabilnejša.

4. Dalton, izotopi in plinska enačba

Atomska masna enota (Dalton)

1 Da = 112 m(12C) = 1,661 · 10⁻²⁷ kg

Molska masa posameznega atoma:

matom = MNA

Izotopi

Izotopi so atomi z enakim Z (enako število protonov), a različnim A. Primer ogljika: 126C, 136C, 146C. Vodika: 11H (protij), 21H (devterij), 31H (tritij).

Relativna atomska masa

Ar = matom112 · m(12C) = matom1 Da   (brezdimenzijska)

Idealna plinska enačba

Makroskopska oblika:
p · V = n · R · T
Zveza med konstantami:
R = k · NA
N = n · NA
p — tlak [Pa];   1 bar = 10⁵ Pa
V — prostornina [m³]   n — množina snovi [mol]   T — temperatura [K]
R = 8,314 J/(K·mol)   k = 1,38 · 10⁻²³ J/K   NA = 6,02 · 10²³ mol⁻¹

5. Kruksova in rentgenska cev

Kruksova cev

Steklena cev z katodo (−) in anodo (+). Razredčen plin pri p ≈ 0,006–1 Pa. Napetost U ≈ 10 kV. Elektroni potujejo od katode do anode, trki z molekulami plina povzročijo svetenje cevi.

Rentgenska cev

Vroča katoda oddaja elektrone (termična emisija), ki se pospešujejo proti kovinski anodi v vakuumu. Ob zaviranju na anodi nastanejo rentgenski žarki.

— ~99 % energije se pretvori v toploto, le ~1 % v rentgenske žarke
— Nastanejo tudi karakteristični žarki (odvisni od materiala anode)
— Energija elektronov:

W = e · U

6. Atomski spekter in Balmerjeva vrsta

Atomi oddajajo svetlobo le pri določenih valovnih dolžinah — spektralne črte.

Rydbergova formula:
1λ = R · ( 1n₁² − 1n₂² )
Meja serije (n₂ → ∞):
1λ₀ = Rn₁²
Za Balmerjevo vrsto (n₁ = 2):
λ = λ₀ · n₂²n₂² − 4 ,   n₂ = 3, 4, 5, ...
R ≈ 1,097 · 10⁷ m⁻¹ — Rydbergova konstanta
n₁ — nižji energijski nivo   n₂ — višji (n₂ > n₁)
Balmerjeva vrsta: n₁ = 2, prehodi iz n₂ = 3, 4, 5... → vidna svetloba. Lymanova (n₁ = 1) je v UV, Paschenova (n₁ = 3) v IR.

7. Rutherfordov model atoma

Rutherford je s sipanjem α-delcev na zlati foliji ugotovil, da je večina mase atoma v majhnem, pozitivno nabitnem jedru.

Sprememba gibalne količine:
|ΔG| = 2 mα v sinθ2
Coulombovo sipanje:
|ΔG| = 4Ze²kv · b · cosθ2
Zveza za kot sipanja:
tanθ2 = 2Ze²kmα v² b
Alternativna oblika (z Wk):
tanθ2 = Ze²kWk · b   kjer   Wk = mαv²2
θ — kot sipanja   b — parameter trka   Z — vrstno število tarče
k = 9 · 10⁹ N·m²/(A·s)² = 14πε₀   mα — masa α-delca
Zaključek: Atom je večinoma prazen prostor z majhnim, gostim jedrom. Model ni pojasnil stabilnosti atoma. Na maturi je ključna enačba za tan(θ/2); izpeljave z ΔG so redko zahtevane.

8. Bohrov model atoma

Bohr je uvedel kvantizirane orbite. Elektroni krožijo le po dovoljenih orbitah. Energija se odda/absorbira le pri preskoku med orbitami.

Sile v atomu (ravnovesje = kroženje):
Fe = k · e²R²   =   Fc = me · v²R
De Brogliejeva valovna dolžina:
λ = hm · v
Pogoj stoječega valovanja:
2πR = n · λ = n · hm · v
Polmer n-te orbite (vodik, Z = 1):
Rn = n² · a₀   kjer   a₀ = h²4π²ke²me
a₀ = 0,53 Å = 0,53 · 10⁻¹⁰ m   (Bohrov polmer)
Splošno (ion z Z protoni, 1 elektron):   Rn = n² · a₀Z
Energija n-te orbitale (vodik):
Wn = −13,6 eVn²
n = 1, 2, 3, ... — glavno kvantno število   h = 6,62 · 10⁻³⁴ J·s
k = 9 · 10⁹ N·m²/(A·s)²   me = 9,1 · 10⁻³¹ kg   1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ J
Pomen: Negativna energija = elektron je vezan. Višji n → energija bližje nič → šibkeje vezan. W = 0 → ionizacija. Energija −13,6 eV je ionizacijska energija vodika.

9. Naboji in lastnosti delcev

Elektron (e⁻):
q = −1,6 · 10⁻¹⁹ A·s   me = 9,1 · 10⁻³¹ kg
Proton (p⁺):
q = +1,6 · 10⁻¹⁹ A·s   mp = 1836 · me = 1,67 · 10⁻²⁷ kg
Nevtron (n⁰):
q = 0   mn ≈ mp = 1,675 · 10⁻²⁷ kg
Energija v el. polju:
W = e · U
1 Å = 10⁻¹⁰ m   1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ J

10. Faradayev zakon (elektroliza)

Na katodi: X⁺ + e⁻ → X⁰. Faradayev zakon povezuje maso izločene snovi z nabojem.

Masa izločene snovi:
m = M · qF · z = M · I · tF · z
Zveza med F in e:
e = FNA = 96 4856,02 · 10²³ = 1,6 · 10⁻¹⁹ A·s
F = 96 485 A·s/mol — Faradayeva konstanta
M — molska masa [kg/mol]   z — nabojno število (valencija)
q — naboj [A·s]   I — tok [A]   t — čas [s]

11. Stokesov zakon in Millikanov poskus

Stokesova sila upora:
FS = 6π η r v
Gostota krogle:
ρ = m43 π r³
Terminalna hitrost (brez el. polja):
mg = 6π η r v₀
Primer: kapljica se dviga (E navzgor):
q · E = mg + 6π η r v
→   q = mg + 6π η r vE
η — viskoznost [Pa·s]   r — polmer kapljice [m]   v — hitrost [m/s]   E — jakost el. polja [V/m]
Pozor: Formula velja za specifičen primer. Na maturi nariši sile in sam postavi ravnovesje. Rezultat: q je vedno celoštevilčni večkratnik e → kvantizacija naboja.

12. Bohrova formula (energija fotona)

Energija fotona:
W = h · ν = h · cλ
Valovna dolžina iz energije:
λ = h · cW
Energija n-tega nivoja (vodik):
Wn = − 13,6 eVn²
Energija oddanega/absorbiranega fotona:
Wfoton = |Wn₂ − Wn₁|
Kinetična energija (splošno):
Wk = m · v²2   (vedno pozitivna!)
Primer: n = 3 → n = 2:   W = −13,64 − (−13,69) = |−3,4 + 1,51| = 1,89 eV → rdeča svetloba (Hα).

13. Kristalna struktura in gostota

Prostornina celice:
V = a³
Polmer atoma (SC):
r = a2
Gostota:
ρ = Zcel · MNA · a³
Število atomov v elementarni celici Zcel:
— SC (preprosta kubična): Zcel = 1,   r = a/2
— BCC (prostorsko centrirana): Zcel = 2,   4r = a√3
— FCC (ploskovno centrirana): Zcel = 4,   4r = a√2
Mrežna konstanta iz gostote (splošna oblika):
a = Zcel · MNA · ρ
Masa enega atoma:
m = MNA

14. Tabela ključnih konstant

KonstantaVrednostEnota
Avogadrovo število NA6,02 · 10²³mol⁻¹
Elementarni naboj e1,6 · 10⁻¹⁹A·s (= C)
Masa elektrona me9,1 · 10⁻³¹kg
Masa protona mp1,673 · 10⁻²⁷kg
Masa nevtrona mn1,675 · 10⁻²⁷kg
1 Da1,661 · 10⁻²⁷kg
Planckova konstanta h6,62 · 10⁻³⁴J·s
Boltzmannova konstanta k1,38 · 10⁻²³J/K
Splošna plinska konstanta R8,314J/(K·mol)
Elektrostatična konstanta ke9 · 10⁹N·m²/(A·s)²
Faradayeva konstanta F96 485A·s/mol
Hitrost svetlobe c3 · 10⁸m/s
Bohrov polmer a₀0,53 · 10⁻¹⁰m
Rydbergova konstanta R∞1,097 · 10⁷m⁻¹
1 eV1,6 · 10⁻¹⁹J
1 bar10⁵Pa
1 Å10⁻¹⁰m
Osnovno stanje H (W₁)−13,6eV

Uporabne zveze med količinami

m = MNA    M = m · NA    n = mM = NNA    mtotal = N · MNA

Gradivo pripravljeno za maturo 2026 · Fizika – Atomska in jedrska fizika